[Antonio ZENG]

梯度、偏导数、旋度与关于它们的一切

发布于2014年5月26日

作者：Prof. Danny Calegari phd of math

译者：Dr. Antonio Zeng phd of math\high energy physics\data science 作为数学博士论文之课题方向为动力系统论的专家，是芝加哥大学数学系教授、当代动力系统论与低维拓扑理论大师Dan（Danny Calegari) 的好朋友

本文标题致敬哈里·谢伊那部杰出而广为人知的《梯度、偏导数、旋度与所有这些》（或许也暗合英国慰藉史中一部较冷门续作的标题）， 本文旨在阐释如何将这些微分算子（电气工程师及学习向量微积分的本科生所熟知）及其他若干算子从欧几里得三维空间推广至任意黎曼流形。我与黎曼几何这门学科有着复杂的纠葛；数年前为《SIAM评论》撰写多米尼克·乔伊斯著作《黎曼霍诺米群与校准几何》的书评时，我曾以这样一句话开篇：

黎曼流形并非如数、函数或图论那般原始的数学对象。它们是局部欧几里得几何与全局光滑拓扑之间的折衷产物，更是先验几何直觉与严谨数学形式主义的另一种妥协。

不必深究此言确切所指，只需留意“折衷”一词的反复出现。研究黎曼几何——至少于我而言——始终充满妥协，这种妥协始于语言与符号体系。一方面，人们渴望一种能以自身逻辑处理黎曼流形的语言体系，既不引入冗余结构，又能凸显基本对象及其属性；另一方面，为实际计算或运用至关重要的向量微积分与分析工具，又不得不引入坐标、下标及晦涩记号——这些符号常令初学者与专家都绊倒。

事实上，我与向量的复杂关系始于初次接触。1986年，我在澳大利亚数学奥林匹克集训营，本·罗宾逊利用午餐时间给我做了两分钟的入门讲解。当时我被繁复的符号体系震慑，完全无法理解页面一侧的字母下标与另一侧的弯曲箭头、平行四边形之间的关联。几年后高中再次接触时，神秘感竟已消散，向量、内积、行列式等术语的含义变得清晰透彻。我认为关键在于这次我先专注理解向量的本质，待核心概念明晰后才着手研究其表示方法与运算规则。同样地，当我在高中最后几年物理课上接触分量、梯度和旋度时，学习过程同样轻松。虽然某些教科书中抽象的“向量场”概念可能令人费解，但那些从正负电荷间延伸的力线图示却能立刻引发直观理解。事实上，用偏微分算子（如\frac {\partial} {\partial x_i}）描述向量场的概念掩盖了巨大的复杂性：虽然这类表达式计算起来很简单，但作为数学对象本身却相当精妙——因为定义它不仅需要单个坐标x_i，还需在局部光滑区域上建立完整的坐标系。相比之下，粒子沿磁力线运动并受轨迹变化影响的直观概念更易理解。我衷心感谢1980年代末设计墨尔本高中科学课程的人士，他们成功实现了数学与物理课程的有机融合。

内积 \langle \cdot,\cdot\rangle 使我们能够在向量场与1-形式之间建立同构关系，即锐化同构与平坦同构。若 \alpha 是1-形式，X 是向量场，则我们通过下列公式定义向量场 \alpha^\sharp 与1-形式 X^\flat：

\langle \alpha^\sharp,X\rangle = \alpha(X)

X^\flat(Y) = \langle X,Y\rangle

锐化与平化是互逆操作。具体而言，若在任意点处两者的模值相等，且向量场的方向垂直于1-形式的核（即1-形式为零的切空间），则称该向量场与1-形式通过此运算相关联。利用这些同构关系，函数f的梯度向量恰是通过将1-形式df施加锐化同构所得的向量场。换言之，它是唯一满足以下恒等式的向量场：

\langle \text{grad}(f),X\rangle = df(X)

梯度的零点即为函数f的临界点；例如梯度在f的极小值与极大值处消失。

分部。在维数为n的欧几里得空间中，一组n个线性无关向量构成平行六面体的棱。该平行六面体的体积即为列向量为这些向量的矩阵的行列式。此处存在微妙之处——计算行列式时需指定向量的排列顺序。若置换符号为奇数，则其对行列式值的改变系数为-1。在定向黎曼n维流形上，若某点存在n个向量，可将其转化为1-形式并进行楔积运算——结果即为n-形式。在n维向量空间中，任意两个n-形式均成比例关系。将单位长度正交基矢量（即正交规范基）对应的1-形式进行楔积，可在每个点生成n-形式，此即体积形式，记作dvol。对于任意其他n元向量组，其平行六面体的体积等于该向量组通过取尖平形式并楔积所确定的n-形式与体积形式之比。

现在存在一个称为霍奇星的算子，其作用于微分形式如下：k-形式 \alpha 可与 (n-k)-形式 \beta 进行楔积形成n-形式，该n-形式的大小可与体积形式比较。我们定义 (n-k)-形式 *\alpha 为满足下列条件的最小形式：

\alpha \wedge *\alpha = \|\alpha\|^2 dvol

换言之，*\alpha 垂直于满足 \alpha \wedge \beta = 0 的形式子空间。在此记法中，*dvol 是处处等于 1 的常数函数；反之，对任意光滑函数 f，有 *f = fdvol。

若 X 为向量场，则由 X 生成的流不仅携带点，还携带各类张量场。协变张量场被流向前推进，反变张量场则被向后拉回。因此位于 M 中某点的静止观察者会看到某类固定张量构成的一参数族流经该点，并可对该族进行微分。其结果即为张量场的李导数，记作 \mathcal{L}_X。向量场 X 的散度衡量了由 X 生成的流场在多大程度上保持或破坏体积。该函数在场无限小地保持体积处为零，在流场最大扩张体积处达到最大值，在流场最大压缩体积处达到最小值。

体积形式的李导数是n-形式；取霍奇星运算得到一个函数，该函数即为散度。故有：

\text{div}(X) = *(\mathcal{L}_X dvol)

根据前述算子定义，对向量场X施加平坦算子可得1-形式X^\flat。对该1-形式施加霍奇星运算可得(n-1)-形式，再施加微分d则得到n-形式，而该n-形式（最终）恰为\mathcal{L}_X dvol。故有：

\text{div}(X) = *\, d * (X^\flat)

梯度与散度在霍奇星运算下具有“近似”对偶性，具体体现如下：设函数f与向量场X，取梯度可得\text{grad}(f)，再取梯度与X的内积可得函数，最后在流形上积分该函数。即：

\int_M\langle X,\text{grad}(f)\rangle dvol = \int_M df(X)dvol = \int_M df\wedge *(X^\flat)

但

d(f*(X^\flat)) = df\wedge *(X^\flat) + fd\,*(X^\flat) = df\wedge *(X^\flat) + f\text{div}(X)dvol

若 M 为闭流形，则精确形式在 M 上的积分值为零，由此可推得：

\int_M \langle X,\text{grad}(f)\rangle dvol = \int_M -f \text{div}(X) dvol

故 -div 是 grad 的形式伴随算子。

拉普拉斯算子。若函数 f 先施加梯度运算再施加散度运算，可得到另一个函数；此复合运算（或更准确地说其负值）即为拉普拉斯算子，记作 \Delta。换言之：

\Delta f = -\text{div} \, \text{grad}(f) = -*d*df

需注意此处存在两种约定：通常将该量（即分流梯度复合运算本身）的负值称为拉普拉斯算子。但此约定同样普遍，且具有使拉普拉斯算子成为非负自伴算子的优势。拉普拉斯算子支配着流形中的热量流动；若将流形想象成充满高速随机运动的微观粒子，这些粒子携带动能四处传递，那么温度即为单位体积内能量的度量。当温度恒定时，尽管粒子可在各点间移动，但平均而言：每当有粒子从微小区域流出，便会有另一粒子从外部流入；由此粒子集合处于“热平衡”状态。然而若存在局部热点——即高能粒子聚集区——这些粒子将呈现扩散趋势：离开小热箱的粒子平均数量将超过从邻近冷箱进入的粒子数量。因此热量将通过其负梯度矢量场扩散，当该矢量场发散时，热量将消散而温度降低。换言之，若f表示温度，则温度随时间的导数满足热方程f’ = -\Delta f。实际上，由于热量可从任意方向流入或流出，关键在于某一点的热量如何偏离其邻近点热量的平均值。静态热分布——即满足 \Delta f=0 的函数 f ——因此是满足（无穷小）平均值性质的函数。这类函数被称为调和函数。

当无限小粒子相互碰撞并漂移时产生的紊乱运动被称为布朗运动，其命名源于植物学家罗伯特·布朗——这位以1801年随“调查者号”科考船航行至西澳大利亚的自然学家身份为澳大利亚人所熟知。1827年，他观察到花粉粒喷射出的微粒呈现抖动运动，该现象遂以他的名字命名。因此，若函数在随机布朗运动中期望值保持恒定，则该函数在黎曼流形上称为调和函数；而拉普拉斯算子描述了函数期望值在此运动中的变化规律。

旋度。将向量场通过平坦算子转化为1-形式后，可施加微分算子d获得闭合的2-形式。在任意黎曼流形上，此过程基本结束，但在三维流形上，对二形式施加霍奇星运算可得到一形式，再通过锐化算子可逆转为向量场。此复合运算即为向量场的旋度，即：

\text{curl}(X) = (*d(X^\flat))^\sharp

注意此运算满足恒等式：

\text{div}\, \text{curl}(X) = * d * * d (X^\flat) = 0 且 \text{curl}\, \text{grad} (f) = (* d df)^\sharp = 0

因此旋度算子的功能之一是给出向量场成为某函数梯度的必要条件；若存在此类函数，则称其为该向量场的势函数。由于梯度流从函数值较小的区域流向较大的区域，故不会循环或闭合；因此某种意义上，旋度衡量了向量场形成闭合轨道的倾向性。实际上这里存在一个微妙之处：恰恰在局部上是光滑函数梯度的向量场上，旋度会消失。流形M的拓扑结构——特别是其实系数的第一同调群——在模除光滑函数梯度向量场的情况下，参数化了无旋向量场。

如前所述，旋度衡量向量场在局部范围内围绕某轴螺旋运动的倾向；该螺旋轴的方向即为向量场\text{curl}(X)的方向，其大小则对应扭转速率。换言之，旋度的大小值衡量了向量场流线相互正向缠绕的趋势。当向量场与其旋度呈比例关系时，此类向量场称为贝尔特拉米场，它们（经缩放后）可视为接触结构关联的里布流。

在此语言中，

X的散度是其迹的负值；

X的旋度是其奇异对称部分；

X的应变则是其无迹对称部分。

应变衡量着X流场偏离保形性的微小失效程度。在保形变换下，长度可能改变但角度得以保存。应变量衡量了某些方向相较于其他方向被X的流场更强烈地推挤的程度；在广义相对论中，这通过引力场的潮汐力来描述。潮汐力的极端实例是观察者坠入黑洞时（短暂经历的）面条化现象。在拟共形分析理论中，贝尔特拉米场规定了域间光滑映射的应变。

等等。这远非对黎曼几何核心概念的详尽梳理，然而奇怪的是我此刻已暂时精疲力竭。将列维-奇维塔微积分的电报式美学拆解为系列故事实属艰巨任务。而符号形式主义无可辩驳的优势正在于此——其精炼性。几何公式往往蕴含海量信息——其中大部分显而易见，但部分需读者自行领会，这依赖于对诸多约定、简化、缩写乃至特定语境下临时性等式的熟悉。或许诀窍在于学会放慢阅读节奏。若你有两三年闲暇，大可效仿我的做法：暂且搁置，待材料成熟时再行研读。好奇者可查阅我网页上的若干笔记，包括2013年春季教授黎曼几何课程的讲义，以及当前讲授极小曲面课程的笔记（本文多数内容改编自后者导论）。请注意这些笔记尚不完善，其中极小曲面笔记尤为基础，截至撰写时仅涵盖若干主题。

[Antonio ZENG]

拓扑柯西-施瓦茨不等式

发布于2009年6月28日

作者：Prof.Danny Calegari ,芝加哥大学数学系教授，当代动力系统论与低维拓扑理论大师

译者：Antonio Zeng, 数学、高能物理、数据科学 三博士学位获得者，现为高科技企业首席科学官，Dan的好友，仍在空余时间进行动力系统论与遍历论、扭结与辫子群、低维拓扑和解析数论方面的研究

译者按：这篇文章讨论的主题和我的高能物理博士论文的研究课题以及我现在正在开发的拓扑量子计算和更广泛的拓扑计算技术有一定的关系，请大家欣赏

我最近完成了与迈克·弗里德曼、凯文·沃克合著的论文《三维空间中普遍配对的正性》的最终修订，该文即将发表于《美国数学会会刊》。本文的灵感源于单值拓扑量子场论理论中出现的问题。n+1维拓扑量子场论（TQFT）是一个函子Z，它将光滑定向n维流形及其间光滑边界切片构成的范畴，映射到（通常为复数）向量空间与线性映射构成的范畴，并满足（所谓的）单范畴公理Z(A ∪ B) = Z(A) ⊗ Z(B)。单态公理蕴含 Z(∅) = ℂ。简言之，该函子将“类空间切片”（即每个n维流形A）映射为A上的“量子态”向量空间（无论其具体形式），记作Z(A)。边界同胚对应宇宙及其量子态随时间演化的物理概念。包围A的n+1维流形W可视为从空流形到A的边界同胚，故Z(W)是\mathbb{C}到Z(A)的线性映射，或等价地，是Z(A)中一个向量（即\mathbb{C}中单位元1的像）。

需注意，按上述定义，拓扑量子场论不仅对流形的基础拓扑敏感，也对其光滑结构敏感。通过在基础流形和边界同伦上要求更多或更少的结构，可定义拓扑量子场论的变体。还可考虑“装饰”的邻接关系范畴，例如其对象为(A,K)对（其中A是流形，K是固定余维数（通常为2）的子流形），其态射为邻接关系对(W,S)（如2+1维TQFT中的威尔逊环）。

在现实物理理论中，量子态空间是希尔伯特空间——即其配备了非退化内积。特别地，向量与自身配对的结果应为正值。具有此性质的TQFT称为单态的。在TQFT中，逆转流形的定向会将向量空间与其对偶空间互换，而配对操作通过粘合具有相反定向的微分同胚流形来实现。值得注意的是，许多数学家关注的3+1维TQFT并非酉化；例如唐纳森理论、赫加德-弗洛尔同调等。这些理论依赖分级结构，阻碍了酉化尝试。下文将阐明此现象存在合理依据。

定义：对于任意n维流形S，令\mathcal{M}(S)表示由S的边界n+1维流形集张成的复向量空间（在S上固定微分同胚）。该向量空间上存在一种配对——即普遍配对——其值域为由闭n+1维流形集张成的复向量空间\mathcal{M}（在微分同胚意义下）。若 \sum_i a_iA_i 与 \sum_j b_jB_j 是 \mathcal{M}(A) 中的两个向量， 则这两个向量的配对等于形式和 \sum_{ij} a_i\overline{b}_j A_i\overline{B}_j，其中上划线表示数值的复共轭，流形的方向反转，而 A_i\overline{B}_j 表示通过沿 S 将 {}A_i 粘合到 \overline{B}_j 所得到的闭流形。

此定义的要点如下： 若 v ∈ \mathcal{M}(S) 是满足 \langle v,v\rangle_S = 0（即 v 与自身配对的结果为零）的向量，则对任意酉量子场论 Z，有 Z(v)=0。当每个非零向量 v 都能与其自身配对出非平凡结果时，称该普适配对在 n+1 维空间中为正。

例：马祖尔流形 M 是带边界 S 的光滑 4-流形。存在一个不延伸到 M 上的 S 的对合 \theta，故 M 与 \theta(M) 表示 \mathcal{M}(S) 中不同的元素。令 v = M – \theta(M) 表示两者的形式差。此时 v 与自身配对的结果包含四项：\langle v,v\rangle_S = M\overline{M} – \theta(M)\overline{M} – M\overline{\theta(M)} + \theta(M)\overline{\theta(M)}。事实上，这四项均与S^4微分同胚，因此尽管v非零，该形式和仍为零，且在4维空间中普适配对不具正性。

更普遍地，单值拓扑量子场论无法区分s-邻接的4维流形，因而对实质上所有“有趣”的平滑4维流形拓扑结构均不敏感！这“解释”了为何诸如唐纳森理论和海格德-弗洛尔同调（如前所述）等有趣的3+1维拓扑量子场论必然非单值。

术语c_1本身极具深意：对于每个有限群G，Witten与Dijkgraaf构造了一个实单元的拓扑量子场论Z_G（即其产生的向量空间为实数空间），因此大致而言，Z_G(S)是由\pi_1(S)到G的表示（在共轭意义下）所张成的向量空间， 而 Z_G(A) 则是（以某种恰当意义上）统计每种表示在 \pi_1(A) 上延拓方式数量的向量。闭流形上 Z_G 的取值大致等同于基本群在 G 中表示的共轭类个数。复杂度 c_1 的计算需先枚举有限群 G₁, G₂, G₃, …, G_n 的所有同构类，再按顺序列出 Z_(G_i) 的取值。若 \pi_1(S) \to \pi_1(A) 的核与 \pi_1(S) \to \pi_1(B) 的核不同，则可通过某个有限群检测此差异（此结论依赖于三维流形群具有残余有限性的性质，该性质由亨佩尔在此背景下证明）； 因此除非这两个核相等，否则c_1具有对角主导性；等价地说，当S在A和B中的最大压缩子群相对于S是微分同胚时成立。在计数基本2-球面之前必须控制这些压缩子群，因此该项在复杂性中必须位于c_2之前。

项c_3包含来自每个素数分量的贡献c_p。复杂度c_p本身是一个元组c_p = (c_S,c_h,c_a)，其中c_S处理塞弗特纤维化片段，c_h处理双曲片段，c_a处理这些片段在JSJ分解中的组合方式。c_h项颇具深意：当作用于有限体积双曲3流形M时，其输出为元组c_h(M) = (-\text{vol}(M),\sigma(M))，其中\text{vol}(M)表示双曲体积，\sigma(M)即测地线长度谱——至少包含谱中虚部为零的项。首项的选择取决于下列定理：

定理：设 S 为有限型的可定向曲面，其每个分支均具有负欧拉特征数；设 {}A,B 为不可约、无环面且无圆柱面的子空间，边界为 S。则 A\overline{A},A\overline{B},B\overline{B} 具有唯一完整的双曲结构，且满足：

2\text{vol}(A\overline{B}) > \text{vol}(A\overline{A})+\text{vol}(B\overline{B})

或

2\text{vol}(A\overline{B}) = \text{vol}(A\overline{A})+\text{vol}(B\overline{B}) {vol}(A\overline{B}) > \text{vol}(A\overline{A})+\text{vol}(B\overline{B}) 或 2\text{vol}(A\overline{B}) = \text{vol}(A\overline{A}) + \text{vol}(B\overline{B}) 且 S 在 A\overline{B} 中为全测地线。

该定理可能是本文技术难度最高的部分。需注意尽管最终我们仅关注闭流形，但必须为带尖点的双曲流形证明此定理，因这些构件出现在JSJ分解中。Agol-Storm-Thurston已证明闭流形情况下的该定理，我们的证明在一般意义上遵循其论证思路，尽管尖点情形存在更多技术难题。首先考虑双曲流形A\overline{B}，并找出曲面S的最小面积代表元。沿此曲面切割，经度量翻倍后可获得拓扑流形A\overline{A}和B\overline{B}上的两个奇异度量。若能证明该奇异度量的体积大于双曲度量的体积，则定理成立。此类体积比较定理在几何学中广受研究；常见做法是定义黎曼度量的几何不变量，进而证明其在局部对称度量上达到极值（维数>2时通常唯一）。例如，贝松-库尔托瓦-加洛特著名的定理证明：在流形上，负曲率的局部对称度量在所有固定体积的度量中唯一地使体积熵最小化（大致而言，即测地线流的熵最小化，至少当曲率为负时成立）。

汉密尔顿证明了：若将里奇流重新标度为恒定体积，则标量曲率R满足关系式 R’ = \Delta R + 2|\text{Ric}_0|^2 + \frac 2 3 R(R-r)，其中 \text{Ric}_0 表示无迹里奇张量，r 表示标量曲率R的空间平均值。若R的空间极小值为负值，则在达到该极小值的点处， \Delta R 保持非负，其余两项亦然；换言之，若进行恒定体积缩放的里奇流，标量曲率的极小值将增大（此结论对非紧流形同样成立，只需将极大值替换为下确界）。反之，若为保持标量曲率下确界恒定而缩放，则流过程中体积将减小。在三维空间中，佩雷尔曼证明经手术操作的里奇流收敛于双曲度量。当标量曲率在有限时间内爆至正无穷时，手术操作便会发生，因此手术不影响标量曲率的下确界，仅使体积减小（因部分区域被切除）。由此可知，在标量曲率下确界为-6的双曲三维流形上，所有度量中唯有常曲率度量能使体积最小化。

然而，通过沿极小曲面翻倍得到的A\overline{A}上的度量并非光滑，甚至无法定义曲率张量。然而，若将标量曲率视为里奇曲率的“平均值”，并注意到极小曲面“平均而言”是平坦的，则可预期该度量的分布式标量曲率等于沿全测地曲面翻倍时的值，即恒等于-6。因此佩雷尔曼不等式应适用，从而证明所需的体积估计。

要使该论证严谨，必须证明奇异度量在里奇流下演化时会瞬间变得光滑，且满足 R ≥ -6。迈尔斯·西蒙的定理指出：若能找到一个光滑的背景度量，其曲率及其一阶导数具有统一界限，且与奇异度量满足 1 + ε-双李普希茨关系，则上述结论成立。闭合情形下此类背景度量的存在性基本不言而喻，但在尖点情形则变得极为微妙。核心在于建立如下比较引理（表述略显非正式）：

引理：双曲三维流形尖点处的最小面积曲面趋于渐近平坦的速度，快于尖点厚度趋于零的速度。

换言之，若将最小面积曲面S提升至全覆盖空间中的曲面\tilde{S}，则存在一条（唯一的）全测地曲面\pi（即“切平面”），其在对应尖点的抛物元素固定点处渐近于\tilde{S}，并满足以下几何估计： 若B_t是高度为t的抛物固定点（对应某霍罗函数）处的霍罗球，则\tilde{S} \cap B_t与\pi \cap B_t之间的豪斯多夫距离为o(e^{-t})。还需进一步证明：若曲面S在单个尖点处具有多个端点，这些端点将与不同的测地平面相切。基于此，构造合适的背景度量并不困难。在曲面S的端点之间，几何结构逐渐呈现为夹在两个全测地平面之间的板状结构。该结构的双倍体是非奇异双曲流形，因此其曲率及其一阶导数必然具有统一控制性；这便构成了薄部分的背景度量。在厚部分，可将奇异度量与凸起函数卷积以获得双李普希茨背景度量；厚部分的紧性显然意味着任何光滑度量都具有曲率及其一阶导数的统一上界。由此可应用西蒙定理，继而应用佩雷尔曼定理，从而证明体积估计。

塞弗特纤维化的情况相当棘手，但最终无需太多新思路。令人惊讶的是，其组合复杂度出乎意料地繁复。本质上，可将JSJ分解视为定义了一个装饰图：其顶点对应分解中的片段，边界则控制着环面间的粘合关系。关键在于证明（装饰）图论中拓扑柯西-施瓦茨不等式的类比形式。最终结果更接近张量网络中熟悉的拓扑量子场论图景，但更深入的讨论需留待后续文章展开。

[穹 許]

曾老師這個應該單獨開帖子發，不適合再規則貼下面發，都亂了，不整齊了。😩