梯度、偏导数、旋度与关于它们的一切

发布于2014年5月26日

作者：Prof. Danny Calegari phd of math

译者：Dr. Antonio Zeng phd of math\high energy physics\data science 作为数学博士论文之课题方向为动力系统论的专家，是芝加哥大学数学系教授、当代动力系统论与低维拓扑理论大师Dan（Danny Calegari) 的好朋友

本文标题致敬哈里·谢伊那部杰出而广为人知的《梯度、偏导数、旋度与所有这些》（或许也暗合英国慰藉史中一部较冷门续作的标题）， 本文旨在阐释如何将这些微分算子（电气工程师及学习向量微积分的本科生所熟知）及其他若干算子从欧几里得三维空间推广至任意黎曼流形。我与黎曼几何这门学科有着复杂的纠葛；数年前为《SIAM评论》撰写多米尼克·乔伊斯著作《黎曼霍诺米群与校准几何》的书评时，我曾以这样一句话开篇：

黎曼流形并非如数、函数或图论那般原始的数学对象。它们是局部欧几里得几何与全局光滑拓扑之间的折衷产物，更是先验几何直觉与严谨数学形式主义的另一种妥协。

不必深究此言确切所指，只需留意“折衷”一词的反复出现。研究黎曼几何——至少于我而言——始终充满妥协，这种妥协始于语言与符号体系。一方面，人们渴望一种能以自身逻辑处理黎曼流形的语言体系，既不引入冗余结构，又能凸显基本对象及其属性；另一方面，为实际计算或运用至关重要的向量微积分与分析工具，又不得不引入坐标、下标及晦涩记号——这些符号常令初学者与专家都绊倒。

事实上，我与向量的复杂关系始于初次接触。1986年，我在澳大利亚数学奥林匹克集训营，本·罗宾逊利用午餐时间给我做了两分钟的入门讲解。当时我被繁复的符号体系震慑，完全无法理解页面一侧的字母下标与另一侧的弯曲箭头、平行四边形之间的关联。几年后高中再次接触时，神秘感竟已消散，向量、内积、行列式等术语的含义变得清晰透彻。我认为关键在于这次我先专注理解向量的本质，待核心概念明晰后才着手研究其表示方法与运算规则。同样地，当我在高中最后几年物理课上接触分量、梯度和旋度时，学习过程同样轻松。虽然某些教科书中抽象的“向量场”概念可能令人费解，但那些从正负电荷间延伸的力线图示却能立刻引发直观理解。事实上，用偏微分算子（如\frac {\partial} {\partial x_i}）描述向量场的概念掩盖了巨大的复杂性：虽然这类表达式计算起来很简单，但作为数学对象本身却相当精妙——因为定义它不仅需要单个坐标x_i，还需在局部光滑区域上建立完整的坐标系。相比之下，粒子沿磁力线运动并受轨迹变化影响的直观概念更易理解。我衷心感谢1980年代末设计墨尔本高中科学课程的人士，他们成功实现了数学与物理课程的有机融合。

内积 \langle \cdot,\cdot\rangle 使我们能够在向量场与1-形式之间建立同构关系，即锐化同构与平坦同构。若 \alpha 是1-形式，X 是向量场，则我们通过下列公式定义向量场 \alpha^\sharp 与1-形式 X^\flat：

\langle \alpha^\sharp,X\rangle = \alpha(X)

X^\flat(Y) = \langle X,Y\rangle

锐化与平化是互逆操作。具体而言，若在任意点处两者的模值相等，且向量场的方向垂直于1-形式的核（即1-形式为零的切空间），则称该向量场与1-形式通过此运算相关联。利用这些同构关系，函数f的梯度向量恰是通过将1-形式df施加锐化同构所得的向量场。换言之，它是唯一满足以下恒等式的向量场：

\langle \text{grad}(f),X\rangle = df(X)

梯度的零点即为函数f的临界点；例如梯度在f的极小值与极大值处消失。

分部。在维数为n的欧几里得空间中，一组n个线性无关向量构成平行六面体的棱。该平行六面体的体积即为列向量为这些向量的矩阵的行列式。此处存在微妙之处——计算行列式时需指定向量的排列顺序。若置换符号为奇数，则其对行列式值的改变系数为-1。在定向黎曼n维流形上，若某点存在n个向量，可将其转化为1-形式并进行楔积运算——结果即为n-形式。在n维向量空间中，任意两个n-形式均成比例关系。将单位长度正交基矢量（即正交规范基）对应的1-形式进行楔积，可在每个点生成n-形式，此即体积形式，记作dvol。对于任意其他n元向量组，其平行六面体的体积等于该向量组通过取尖平形式并楔积所确定的n-形式与体积形式之比。

现在存在一个称为霍奇星的算子，其作用于微分形式如下：k-形式 \alpha 可与 (n-k)-形式 \beta 进行楔积形成n-形式，该n-形式的大小可与体积形式比较。我们定义 (n-k)-形式 *\alpha 为满足下列条件的最小形式：

\alpha \wedge *\alpha = \|\alpha\|^2 dvol

换言之，*\alpha 垂直于满足 \alpha \wedge \beta = 0 的形式子空间。在此记法中，*dvol 是处处等于 1 的常数函数；反之，对任意光滑函数 f，有 *f = fdvol。

若 X 为向量场，则由 X 生成的流不仅携带点，还携带各类张量场。协变张量场被流向前推进，反变张量场则被向后拉回。因此位于 M 中某点的静止观察者会看到某类固定张量构成的一参数族流经该点，并可对该族进行微分。其结果即为张量场的李导数，记作 \mathcal{L}_X。向量场 X 的散度衡量了由 X 生成的流场在多大程度上保持或破坏体积。该函数在场无限小地保持体积处为零，在流场最大扩张体积处达到最大值，在流场最大压缩体积处达到最小值。

体积形式的李导数是n-形式；取霍奇星运算得到一个函数，该函数即为散度。故有：

\text{div}(X) = *(\mathcal{L}_X dvol)

根据前述算子定义，对向量场X施加平坦算子可得1-形式X^\flat。对该1-形式施加霍奇星运算可得(n-1)-形式，再施加微分d则得到n-形式，而该n-形式（最终）恰为\mathcal{L}_X dvol。故有：

\text{div}(X) = *\, d * (X^\flat)

梯度与散度在霍奇星运算下具有“近似”对偶性，具体体现如下：设函数f与向量场X，取梯度可得\text{grad}(f)，再取梯度与X的内积可得函数，最后在流形上积分该函数。即：

\int_M\langle X,\text{grad}(f)\rangle dvol = \int_M df(X)dvol = \int_M df\wedge *(X^\flat)

但

d(f*(X^\flat)) = df\wedge *(X^\flat) + fd\,*(X^\flat) = df\wedge *(X^\flat) + f\text{div}(X)dvol

若 M 为闭流形，则精确形式在 M 上的积分值为零，由此可推得：

\int_M \langle X,\text{grad}(f)\rangle dvol = \int_M -f \text{div}(X) dvol

故 -div 是 grad 的形式伴随算子。

拉普拉斯算子。若函数 f 先施加梯度运算再施加散度运算，可得到另一个函数；此复合运算（或更准确地说其负值）即为拉普拉斯算子，记作 \Delta。换言之：

\Delta f = -\text{div} \, \text{grad}(f) = -*d*df

需注意此处存在两种约定：通常将该量（即分流梯度复合运算本身）的负值称为拉普拉斯算子。但此约定同样普遍，且具有使拉普拉斯算子成为非负自伴算子的优势。拉普拉斯算子支配着流形中的热量流动；若将流形想象成充满高速随机运动的微观粒子，这些粒子携带动能四处传递，那么温度即为单位体积内能量的度量。当温度恒定时，尽管粒子可在各点间移动，但平均而言：每当有粒子从微小区域流出，便会有另一粒子从外部流入；由此粒子集合处于“热平衡”状态。然而若存在局部热点——即高能粒子聚集区——这些粒子将呈现扩散趋势：离开小热箱的粒子平均数量将超过从邻近冷箱进入的粒子数量。因此热量将通过其负梯度矢量场扩散，当该矢量场发散时，热量将消散而温度降低。换言之，若f表示温度，则温度随时间的导数满足热方程f’ = -\Delta f。实际上，由于热量可从任意方向流入或流出，关键在于某一点的热量如何偏离其邻近点热量的平均值。静态热分布——即满足 \Delta f=0 的函数 f ——因此是满足（无穷小）平均值性质的函数。这类函数被称为调和函数。

当无限小粒子相互碰撞并漂移时产生的紊乱运动被称为布朗运动，其命名源于植物学家罗伯特·布朗——这位以1801年随“调查者号”科考船航行至西澳大利亚的自然学家身份为澳大利亚人所熟知。1827年，他观察到花粉粒喷射出的微粒呈现抖动运动，该现象遂以他的名字命名。因此，若函数在随机布朗运动中期望值保持恒定，则该函数在黎曼流形上称为调和函数；而拉普拉斯算子描述了函数期望值在此运动中的变化规律。

旋度。将向量场通过平坦算子转化为1-形式后，可施加微分算子d获得闭合的2-形式。在任意黎曼流形上，此过程基本结束，但在三维流形上，对二形式施加霍奇星运算可得到一形式，再通过锐化算子可逆转为向量场。此复合运算即为向量场的旋度，即：

\text{curl}(X) = (*d(X^\flat))^\sharp

注意此运算满足恒等式：

\text{div}\, \text{curl}(X) = * d * * d (X^\flat) = 0 且 \text{curl}\, \text{grad} (f) = (* d df)^\sharp = 0

因此旋度算子的功能之一是给出向量场成为某函数梯度的必要条件；若存在此类函数，则称其为该向量场的势函数。由于梯度流从函数值较小的区域流向较大的区域，故不会循环或闭合；因此某种意义上，旋度衡量了向量场形成闭合轨道的倾向性。实际上这里存在一个微妙之处：恰恰在局部上是光滑函数梯度的向量场上，旋度会消失。流形M的拓扑结构——特别是其实系数的第一同调群——在模除光滑函数梯度向量场的情况下，参数化了无旋向量场。

如前所述，旋度衡量向量场在局部范围内围绕某轴螺旋运动的倾向；该螺旋轴的方向即为向量场\text{curl}(X)的方向，其大小则对应扭转速率。换言之，旋度的大小值衡量了向量场流线相互正向缠绕的趋势。当向量场与其旋度呈比例关系时，此类向量场称为贝尔特拉米场，它们（经缩放后）可视为接触结构关联的里布流。

在此语言中，

X的散度是其迹的负值；

X的旋度是其奇异对称部分；

X的应变则是其无迹对称部分。

应变衡量着X流场偏离保形性的微小失效程度。在保形变换下，长度可能改变但角度得以保存。应变量衡量了某些方向相较于其他方向被X的流场更强烈地推挤的程度；在广义相对论中，这通过引力场的潮汐力来描述。潮汐力的极端实例是观察者坠入黑洞时（短暂经历的）面条化现象。在拟共形分析理论中，贝尔特拉米场规定了域间光滑映射的应变。

等等。这远非对黎曼几何核心概念的详尽梳理，然而奇怪的是我此刻已暂时精疲力竭。将列维-奇维塔微积分的电报式美学拆解为系列故事实属艰巨任务。而符号形式主义无可辩驳的优势正在于此——其精炼性。几何公式往往蕴含海量信息——其中大部分显而易见，但部分需读者自行领会，这依赖于对诸多约定、简化、缩写乃至特定语境下临时性等式的熟悉。或许诀窍在于学会放慢阅读节奏。若你有两三年闲暇，大可效仿我的做法：暂且搁置，待材料成熟时再行研读。好奇者可查阅我网页上的若干笔记，包括2013年春季教授黎曼几何课程的讲义，以及当前讲授极小曲面课程的笔记（本文多数内容改编自后者导论）。请注意这些笔记尚不完善，其中极小曲面笔记尤为基础，截至撰写时仅涵盖若干主题。